Mathematical Research & Services

Ausgangspunkt: Erhalt qualitativ hochwertiger Netze bei geometrischer Komplexität

Ingenieurwissenschaftliche und physikalische Fragestellungen werden häufig durch partielle Differentialgleichungen formuliert und mittels der Finiten-Elemente-Methode (FEM) gelöst. Bei dieser Methode wird zunächst das vorgegebene Berechnungsgebiet vernetzt, d.h. in einfache geometrische Elemente zerlegt, wie etwa Dreiecke bzw. Vierecke im Fall von Oberflächenmodellen oder Tetraeder bzw. Hexaeder im Fall von Volumenmodellen. Diese Elemente dienen als Grundlage für die Definition der Lösungsfunktion, deren Koeffizienten durch das FE-Verfahren zu bestimmen sind. Je nach Güte des resultierenden Netzes schließt sich daran ein Netzoptimierungsschritt, der ggf. auch in das Netzgenerierungsverfahrens integriert sein kann. Danach wird unter Einbeziehung von Randbedingungen wie beispielsweise Lasten, Fixierungen, etc. im FE-Simulationsprozess ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Lösungskoeffizienten aufgestellt. Im Anschluss wird das resultierende FE-System mit speziellen numerischen Methoden gelöst und die Lösung des Simulationsproblems ausgewertet.

Bei diesem Prozess hat die Qualität der Vernetzungen einen entscheidenden Einfluss auf die Effizienz und die Genauigkeit der FE-Simulation. In der Regel sind Netze mit möglichst regulären Elementen wünschenswert um zu kleine bzw. zu große Elementwinkel zu vermeiden, da diese zur Erhöhung der Konditionszahl der Steifigkeitsmatrix und somit zur schlechteren Lösbarkeit des resultierenden FE-Systems bzw. zu Ungenauigkeiten bei der resultierenden Lösung führen. Die Erzeugung qualitativ hochwertiger Netze wird bei zunehmender geometrischer Komplexität immer problematischer.

TWT Lösungsansatz: "GETMe"

Der Fachbereich Mathematical Research & Services der TWT entwickelte die Geometric Element Transformation Method (GETMe) zur Glättung von Finite-Elemente-Netzen. Bei diesem Verfahren wird die Qualitätsverbesserung ausschließlich durch die Neupositionierung von Netzknoten erzielt, ohne dabei die Netztopologie, d.h. die Zusammenhangsstruktur der Elemente des Netzes, zu verändern. Dies ist exemplarisch in untenstehender Abbildung für ein aus Hexaedern bestehendes Außennetz des von TWT entwickelten offenen PKW Aletis dargestellt. In der Abbildung sind die Elemente gemäß ihrer Regularität eingefärbt. Diese wurde mit Hilfe eines  Regularitätsmaßes bemessen, welches für degenerierte Elemente den Wert 0 (rot) und für reguläre Elemente den Wert 1 (blau) annimmt. Insbesondere Elemente mit kleinen Qualitätszahlen sind zu vermeiden, da diese zu Instabilitäten und Ungenauigkeiten in der Finite-Elemente-Berechnung führen können. 

Die Netzglättung durch GETMe basiert auf der Verwendung von geometrischen Transformationen für Polygone und Polyeder, welche bei iterativer Anwendung sukzessive problematische Elemente in reguläre und somit höherwertige Elemente überführen. Das Verfahren ist prinzipiell für die Verbesserung der gebräuchlichsten FE-Netztypen geeignet.

 

Resultat

In den durch die TWT verfassten Publikationen konnte durch zahlreiche numerische Tests und  mathematische Beweise belegt werden, dass durch GETMe Netzqualitäten erzielt werden, wie sie bisher nur mit Verfahren der globalen Optimierung erreicht werden konnten. Hierbei ergibt sich jedoch ein signifikanter Geschwindigkeitsvorteil, da Verfahren der globalen Optimierung aufgrund ihres mathematischen Optimierungsansatzes einen wesentlich höheren Rechenbedarf haben.